可以。根据相关政策，符合条件的家庭可以申请公租房，其中就包括有孩子的家庭。女方作为申请人，如果符合公租房的申请条件，可以带孩子一起申请。具体的申请条件可能因地区而异，建议咨询当地的相关部门获取详细信息。
申请公租房通常需要符合以下条件：居住在当地、家庭收入低于一定标准、无房产或住房条件差等。
而人才公寓的条件通常是：具备一定的专业技能或教育背景、在相关领域有一定的工作经验、符合当地人才引进政策等。具体条件可能因地区和政策而有所不同，建议咨询当地相关部门或房屋管理机构以获取准确信息。
如果房东不提供公租房申请所需的房屋租赁证明，您可以尝试通过其他途径来获取该证明，例如向房屋管理部门或房屋中介机构申请证明。另外，您也可以与房东沟通，请求其配合提供相应的证明文件。
如果房东继续拒绝提供证明文件，您可以向当地房屋管理部门或者相关执法部门举报此事，寻求进一步协助解决。